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\begin{document}
\textbf{Die folgenden Texte sind wörtlich aus Wikipedia übernommen.}


\section{p-q-Formel}
Bei Vorliegen der Normalform $x^{2}+px+q=0$ lauten die Lösungen nach der p-q-Formel:

\[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}\]

In Österreich ist diese Formel als \textit{kleine Lösungsformel} bekannt.


\section{Diffenzierbarkeit}
Eine Funktion $f\colon U\to \mathbb{R}$, die ein offenes Intervall $U$ in die reellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle $x_{0}\in U$, falls der Grenzwert

\[\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\quad\textrm{(mit } h=x-x_{0}\textrm{)}\]

existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von $f$ nach $x$ an der Stelle $x_{0}$ und wird als

\[f'(x_{0})
\quad\textrm{oder}\quad
\left.\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}}
\quad\textrm{oder}\quad
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_{0})
\quad\textrm{oder}\quad
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x_{0})\]

notiert. Gesprochen werden diese Notationen als \enquote{f Strich von x null}, \enquote{d f von x nach d x an der Stelle x gleich x null}, \enquote{d f nach d x von x null} respektive \enquote{d nach d x von f von x null}.

Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat:

Eine Funktion heißt in einem Punkt $x_{0}$ differenzierbar, falls eine Konstante $L$ existiert, sodass

\[\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Lh}{h}=0\textrm{.}\]

Der Zuwachs der Funktion $f$, wenn man sich von $x_{0}$ nur wenig entfernt, etwa um den Wert $h$, lässt sich also durch $Lh$ sehr gut approximieren, man nennt die lineare Funktion $g$ mit $g(x_{0}+h)=f(x_{0})+Lh$ deswegen auch die Linearisierung von $f$ an der Stelle $x_{0}$.

Eine weitere Definition ist: Es gibt eine an der Stelle $x_{0}$ stetige Funktion $r$ mit $r(x_{0})=0$ und eine Konstante $L$, sodass für alle $x$ gilt

\[f(x)=f(x_{0})+L(x-x_{0})+r(x)(x-x_{0})\textrm{.}\]

Die Bedingungen $r(x_{0})=0$ und dass $r$ an der Stelle $x_{0}$ stetig ist, bedeuten gerade, dass das \enquote{Restglied} $r(x)$ für $x$ gegen $x_{0}$ gegen $0$ konvergiert.
\end{document}