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\begin{document}
Die kubische Gleichung $x^3+rx^2+sx+t=0$ kann mittels der Substitution $y=x+\frac{r}{3}$ in die sogenannte reduzierte Gleichung $y^3+py+q=0$ überführt werden. Die Wurzeln $y_1$, $y_2$ und $y_3$ der reduzierten Gleichung lassen sich gemäß folgender Tabelle mit $R\colon=(\textrm{sgn}q)\sqrt{\frac{|p|}{3}}$ und $D\colon=\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2$ bestimmen:

\begin{tabular}{ll|l|l}
		\multirow{3}{*}{}
	&	\multicolumn{2}{c|}{$p<0$}
	&	\multicolumn{1}{c}{\multirow{2}{*}{$p>0$}}
	\\

	\cline{2-3}

	&	$D\le 0$
	&	$D>0$
	&
	\\

	\cline{2-4}

	&	\multicolumn{1}{|c|}{$\textrm{cos}\varphi=\frac{q}{2R^3}$}
	&	$\textrm{cosh}\varphi=\frac{q}{2R^3}$
	&	$\textrm{sinh}\varphi=\frac{q}{2R^3}$
	\\

	\cline{2-4}

		\multicolumn{1}{l||}{$y_1$}
	&	$-2R\textrm{cos}\frac{\varphi}{3}$
	&	$-2R\textrm{cosh}\frac{\varphi}{3}$
	&	$-2R\textrm{sinh}\frac{\varphi}{3}$
	\\

	\hline

		\multicolumn{1}{l||}{$y_2$}
	&	$-2R\textrm{cos}\left(\frac{\varphi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)$
	&	$R\textrm{cosh}\frac{\varphi}{3}+i\sqrt{3}R\textrm{sinh}\frac{\varphi}{3}$
	&	$R\textrm{sinh}\frac{\varphi}{3}+i\sqrt{3}R\textrm{cosh}\frac{\varphi}{3}$
	\\
	
	\hline
	
		\multicolumn{1}{l||}{$y_3$}
	&	$-2R\textrm{cos}\left(\frac{\varphi}{3}+\frac{4\pi}{3}\right)$
	&	$R\textrm{cosh}\frac{\varphi}{3}-i\sqrt{3}R\textrm{sinh}\frac{\varphi}{3}$
	&	$R\textrm{sinh}\frac{\varphi}{3}-i\sqrt{3}R\textrm{cosh}\frac{\varphi}{3}$
\end{tabular}
\end{document}